vecteurs

vecteurs.classification.md

@@ -0,0 +1,73 @@
+# Classification et clustering
+
+Dans l’analyse de données, l’objectif est souvent de **catégoriser les individus** ou mieux encore de **découvrir des structures cachées**.
+
+Deux grandes approches existent : la **classification supervisée** et le **clustering non supervisé**.
+
+## Variables cibles et explicatives
+
+### Variable cible (ou variable dépendante, output, $Y$)
+
+C’est la variable que l’on cherche à prédire, expliquer ou classifier.
+
+Elle dépend des autres variables.
+
+Elle est connue dans l’apprentissage supervisé (ex. classification, régression).
+
+### Variable explicative (ou variable indépendante, feature, $X$)
+
+Ce sont les caractéristiques observées qui servent à expliquer ou prédire la variable cible.
+
+Elles sont indépendantes entre elles (en théorie) mais influencent la variable cible.
+
+## Classification supervisée
+
+La **classification** consiste à **attribuer une observation à une classe prédéfinie**.
+
+On dispose d’un ensemble de données d’apprentissage étiquetées (chaque observation appartient à une classe connue) et l’algorithme apprend une règle de décision.
+
+### Méthodologie
+
+1. **Constitution du jeu d’apprentissage** : données avec variables explicatives (âge, revenu, historique d’achat…) et une variable cible (classe : « fidèle », « risque »).
+2. **Choix d’un algorithme de classification**.
+3. **Apprentissage du modèle** : l’algorithme ajuste ses paramètres pour minimiser l’erreur de prédiction.
+4. **Évaluation** : mesurer la précision sur de nouvelles données (validation croisée, matrice de confusion).
+5. **Prédiction** : classer les nouvelles observations.
+
+### Algorithmes courants
+
+* **Arbres de décision (CART, C4.5, Random Forest)** : règles simples de type « si… alors… ».
+* **k-Nearest Neighbors (k-NN)** : un individu est classé selon la majorité de ses plus proches voisins.
+* **Naïve Bayes** : modèle probabiliste basé sur le théorème de Bayes.
+* **Régression logistique** : adaptée aux classes binaires.
+* **SVM (Support Vector Machines)** : séparateurs optimaux entre classes.
+* **Réseaux de neurones** : pour des problèmes complexes et volumineux.
+
+
+## Clustering (non supervisé)
+
+Le **clustering** (ou classification automatique) consiste à **regrouper des individus en classes (clusters) non connues à l’avance**, en fonction de leur similarité.
+
+Il n’y a pas de variable cible : l’algorithme cherche à découvrir des structures naturelles dans les données.
+
+### Méthodologie
+
+1. **Choisir une mesure de similarité** (distance euclidienne, Manhattan, cosinus…).
+2. **Appliquer un algorithme de regroupement**.
+3. **Évaluer la qualité des clusters** (compacité, séparation, indice de silhouette).
+4. **Interpréter les groupes** : leur donner un sens métier (ex. « clients premium », « clients occasionnels »).
+
+L’indice de silhouette (Silhouette Coefficient) mesure à quel point un objet (une donnée) est bien placé dans son cluster par rapport aux autres clusters.
+
+Il évalue deux choses :
+
+Cohésion intra-cluster → à quel point l’objet est proche des autres membres de son cluster.
+
+Séparation inter-cluster → à quel point il est éloigné des membres des autres clusters.
+
+### Algorithmes courants
+
+* **k-Means** : partitionne en *k* clusters en minimisant la variance intra-classe.
+* **Clustering hiérarchique** : construit un arbre (dendrogramme) de regroupement.
+* **DBSCAN** : identifie des zones de densité et détecte les anomalies.
+* **Gaussian Mixture Models (GMM)** : modèles probabilistes où chaque cluster suit une distribution normale.

vecteurs.index.md

@@ -0,0 +1,60 @@
+# Indexation vectorielle
+
+## Structures exactes
+
+### Kd-Tree (k-dimensional tree)
+
+Un Kd-Tree est une structure d’arbre binaire qui permet d’organiser des points dans un espace de dimension k.
+
+- Chaque nœud de l’arbre représente un point (vecteur).
+- À chaque niveau de l’arbre, on découpe l’espace selon une dimension spécifique.
+
+Ainsi, l’espace est récursivement partitionné en hyperplans (droites en 2D, plans en 3D, hyperplans en kD).
+
+- On choisit une dimension de séparation (ex. la dimension x).
+- On prend le point médian selon cette dimension → il devient le nœud racine.
+- Les points avec des coordonnées inférieures vont dans le sous-arbre gauche, les autres dans le sous-arbre droit.
+- On recommence récursivement en changeant la dimension (ex. au niveau suivant on coupe selon y, puis z, ... puis de nouveau x).
+
+Chaque étape partitionne l’espace en rectangles de plus en plus petits.
+
+### Ball-Tree
+
+Au lieu de couper par des hyperplans, on coupe par des hypersphères → mieux adapté pour distances euclidiennes.
+
+Le Kd-Tree est une structure d’indexation exacte, très efficace pour la recherche de voisins proches en faible dimension. Mais il ne passe pas à l’échelle en haute dimension, ce qui a conduit au développement des méthodes approximatives.
+
+## Structures approximatives
+
+### Locality Sensitive Hashing (LSH)
+
+L’idée est de construire des fonctions de hachage probabilistes qui envoient :
+
+les vecteurs similaires → dans le même seau (bucket) avec forte probabilité,
+
+les vecteurs différents → dans des seaux distincts avec forte probabilité.
+
+Contrairement à un hachage classique (qui disperse les données), ici le hachage est conçu pour conserver la notion de proximité.
+
+### Inverted File (IVF)
+
+Appliquer k-means pour créer C clusters.
+
+Assigner chaque vecteur au centroïde le plus proche.
+
+Dans chaque cluster, stocker uniquement les résidus (différence vecteur – centroïde).
+
+Utiliser Product Quantization (PQ) pour encoder ces résidus en codes compacts (ex. 8 bits par sous-espace).
+
+### Hierarchical Navigable Small World (HNSW)
+
+Basé sur les graphes de proximité : chaque vecteur est un nœud relié à ses voisins proches.
+
+On construit un graphe navigable qui permet de trouver les plus proches voisins sans explorer toute la base.
+
+Inspiré des graphes "small-world" : on peut atteindre rapidement un point du graphe en peu de sauts.
+
+
+> Le choix d'un index est un compromis
+- Exact = lent mais précis.
+- Approximatif = rapide mais avec une petite perte de précision.

vecteurs.md

@@ -4,10 +4,10 @@
 
 La solution la plus utilisée consiste à projeter ces données dans un **espace vectoriel** : chaque objet est représenté par un vecteur de nombres réels.
 
-Cela permet d’utiliser les outils de l’algèbre linéaire, de la statistique et de l’informatique pour :
+Cela permet d’utiliser les outils de l’algèbre linéaire et de la statistique pour :
 - rechercher des objets similaires,
 - regrouper ou classifier des individus,
-- détecter des anomalies ou recommander des produits.
+- identifier des anomalies, fraudes ou défauts de fabrication (vecteurs très éloignés).
 
 Aujourd’hui, ces méthodes sont utilisées partout : moteur de recherche, recommandation Netflix/Spotify, détection de fraude bancaire, IA générative (ChatGPT encode les phrases en vecteurs pour raisonner dessus).
 
@@ -18,7 +18,7 @@ Aujourd’hui, ces méthodes sont utilisées partout : moteur de recherche, reco
 Un **vecteur** est une suite ordonnée de nombres réels :
 
 $$
-v = [x_1, x_2, \dots, x_n] \in \mathbb{R}^n
+\vec{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n] \in \mathbb{R}^n
 $$
 
 Un **espace vectoriel** est un ensemble de vecteurs où s’appliquent deux opérations :
@@ -39,7 +39,7 @@ Elle définit aussi une distance entre deux vecteurs, invariante par translation
 
 #### Norme $L_2$ (euclidienne)
 
-Dans le plan, si le vecteur _u_ a pour coordonnées (x , y), sa norme s'écrit :
+Dans le plan, si le vecteur $\vec{v}$ a pour coordonnées (x , y), sa norme s'écrit :
 
 $$
 ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2}
@@ -59,26 +59,143 @@ $$
 
 ### Distances
 
-À partir d’une norme, on définit une **distance** entre vecteurs $u$ et $v$. Exemple :
+À partir d’une norme, on définit une **distance** entre vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
 
-* Distance euclidienne :
+La distance euclidienne :
 
 $$
-d(u,v) = ||u-v||_2
+d(\vec{u},\vec{v}) = ||\vec{u}-\vec{v}||_2
 $$
 
 ### Produit scalaire et similarité cosinus
 
-Le **produit scalaire** est défini par :
+Le **produit scalaire** (_inner product_ ou _dot product_ en anglais) est une opération qui prend deux vecteurs et donne un scalaire (nombre).
 
 $$
-u \cdot v = \sum_{i=1}^n u_i v_i
+\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i
 $$
 
+ou
+
+$$
+\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot cos(\theta)
+$$
+
+Le produit scalaire relie longueurs et angles. Il permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en deux, trois ou plus de dimensions.
+
 La **similarité cosinus** est donnée par :
 
 $$
-\cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||}
+\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}
 $$
 
-Utilisé pour comparer deux vecteurs indépendamment de leur taille (ex. documents textuels).
+Elle est utilisée pour comparer deux vecteurs indépendamment de leur taille (ex. documents textuels).
+
+Si = 0 soit θ = 90°, les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) Il n'y a aucune similarité.
+
+Si = 1 les vecteurs pointent exactement dans la même direction (très similaires).
+
+Si = -1 les vecteurs pointent dans des directions opposées (complètement dissemblables).
+
+## Statistique multivariée
+
+### Moyenne, variance et covariance
+
+Pour une variable $X$ :
+
+**Moyenne** : $\mu = \frac{1}{n}\sum x_i$
+
+**Variance** : $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \mu)^2$
+
+Pour deux variable $X$ et $Y$
+
+**Covariance** : $\text{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$
+
+La covariance mesure comment deux variables X et Y varient ensemble.
+$E$ est l'esperance (ou moyenne théorique). En statistique pratique, on remplace $E[X]$ par la moyenne empirique
+
+D'où de manière empirique
+
+$$
+\widehat{\mathrm{Cov}}(X,Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
+$$
+
+Si $X$ et $Y$ sont corrélés alors la covariance est positive. Si la covariance est nulle il n'y a pas de lien. Si la covariance est négative alors la probabilité est trés faible.
+
+**Corrélation** est la covariance normalisée sur une échelle de -1 à 1.
+
+$$
+\rho(X,Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
+$$
+
+Ces mesures servent à comprendre la dispersion et les corrélations.
+
+
+### Normalisation des données
+
+Avant de comparer des vecteurs, il faut rendre les dimensions comparables en grandeur.
+
+**Min-Max scaling** :
+
+$$
+x' = \frac{x - \min}{\max - \min}
+$$
+
+**Standardisation (z-score)** :
+
+$$
+x' = \frac{x - \mu}{\sigma}
+$$
+
+### Réduction de dimension
+
+Lorsqu’une base de données contient de nombreuses variables (ou dimensions), il devient difficile d’analyser efficacement les données. On parle alors de malédiction de la dimensionnalité : plus il y a de dimensions, plus les calculs sont coûteux, et plus il est difficile de visualiser ou d’interpréter les résultats.
+
+La réduction des dimensions vise donc à simplifier l’espace de représentation en conservant l’information la plus pertinente.
+
+- Alléger les données : diminuer la taille et la complexité des tables.
+- Améliorer les performances : réduire le temps de calcul dans les requêtes analytiques et les algorithmes.
+- Faciliter la visualisation : rendre possible une représentation graphique (2D, 3D).
+- Éliminer le bruit : supprimer les variables redondantes ou peu informatives.
+
+Il existe deux grandes familles d’approches
+
+**Sélection de variables** (feature selection) : On conserve uniquement les dimensions les plus pertinentes :
+
+- **Analyse de corrélation** : suppression d'une des variables fortement corrélées.
+- **Méthodes statistiques** (tests d’hypothèses, chi², ANOVA) pour éliminer les variables peu discriminantes.
+- **Méthodes incrémentales** : ajout ou retrait progressif de variables en fonction de critères de qualité (erreur de prédiction, pouvoir explicatif)
+
+**Extraction de nouvelles dimensions** (feature extraction)
+
+On crée de nouvelles variables synthétiques à partir des variables initiales :
+
+- **ACP (Analyse en Composantes Principales, PCA)**
+  - Transforme les données en un nouvel espace en combinant linéairement les variables.
+  - Les premières composantes expliquent la plus grande partie de la variance.
+  - Très utilisée en statistique et en apprentissage automatique.
+
+- **Analyse factorielle** : Identifie des facteurs latents expliquant les corrélations entre variables.
+- **t-SNE, UMAP**  (méthodes modernes) : Plus adaptées pour la visualisation et la détection de structures non linéaires dans des données complexes.
+
+## Théorie de la similarité
+
+### Problème des plus proches voisins
+
+Pour un vecteur $\vec{q}$, trouver les $k$ vecteurs les plus proches parmi une base de données.
+
+Méthode naïve : comparer $q$ avec tous les vecteurs un par un.
+
+Mais quand la dimension n augmente, les distances entre points tendent à se ressembler,
+
+- [Classification et clustering](vecteurs.classification)
+- [Indexation vectorielle](vecteurs.index)
+
+
+## Exercice
+
+1. Construire une base de produits avec vecteurs nutritionnels.
+2. Normaliser les données par z-score.
+3. Créer un index HNSW.
+4. Classer un produit inconnu avec k-NN.
+5. Détecter les produits extrêmes.

vecteurs.readme.md

@@ -8,8 +8,6 @@
 FAISS (Facebook), Milvus, Pinecone, Weaviate.
 
 
-
-
 1. ****
 
    * Définitions (vecteur, dimension, norme).
@@ -230,53 +228,23 @@ Aujourd’hui, ces méthodes sont utilisées partout : moteur de recherche, reco
 
 ---
 
-## Chapitre 2 : Statistique multivariée
+## Chapitre 2 :
 
-### 2.1 Moyenne, variance, covariance
+### 2.1
 
-Pour une variable $X$ :
-
-* Moyenne : $\mu = \frac{1}{n}\sum x_i$
-* Variance : $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \mu)^2$
-* Covariance entre $X$ et $Y$ : $\text{Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$
-
-👉 Ces mesures servent à comprendre la dispersion et les corrélations.
-
----
-
-### 2.2 Normalisation des données
-
-Avant de comparer des vecteurs, il faut rendre les dimensions comparables :
-
-* **Min-Max scaling** :
-
-  $$
-  x' = \frac{x - \min}{\max - \min}
-  $$
-* **Standardisation (z-score)** :
-
-  $$
-  x' = \frac{x - \mu}{\sigma}
-  $$
 
 👉 Le z-score est très utilisé pour détecter les valeurs extrêmes.
 
 ---
 
-### 2.3 Réduction de dimension
+
 
 * **ACP (PCA)** : projette les données sur des axes qui maximisent la variance.
 * **T-SNE, UMAP** : techniques non linéaires pour visualiser des vecteurs en 2D ou 3D.
 
 ---
 
-## Chapitre 3 : Théorie de la similarité
 
-### 3.1 Problème des plus proches voisins
-
-Donné un vecteur $q$, trouver les $k$ vecteurs les plus proches parmi une base de données.
-
-* Méthode naïve : comparer $q$ avec tous les vecteurs ($O(N)$).
 
 ---
 
@@ -297,55 +265,6 @@ Quand la dimension $n$ augmente :
 * Cosinus → données textuelles ou normalisées.
 * Jaccard/Hamming → données catégorielles.
 
----
-
-## Chapitre 4 : Classification et clustering
-
-### 4.1 Classification supervisée
-
-* **k-NN** : attribue la classe majoritaire parmi les $k$ plus proches voisins.
-* Analyse discriminante.
-
----
-
-### 4.2 Clustering (non supervisé)
-
-* **k-means** : partitionne les données en $k$ groupes.
-* **Clustering hiérarchique**.
-* **DBSCAN** : détecte des regroupements denses.
-
----
-
-### 4.3 Évaluation
-
-* Taux d’erreur, précision, rappel.
-* Indice de silhouette.
-
----
-
-## Chapitre 5 : Indexation vectorielle
-
-### 5.1 Structures exactes
-
-* **kd-tree**, **ball-tree** : efficaces en basse dimension (< 30).
-
----
-
-### 5.2 Structures approximatives
-
-* **LSH (Locality Sensitive Hashing)**.
-* **IVF (Inverted File)**.
-* **HNSW (Hierarchical Navigable Small World)** :
-
-  * Graphe de proximité hiérarchique.
-  * Recherche rapide et précise.
-
----
-
-### 5.3 Compromis
-
-* Exact = lent mais précis.
-* Approximatif = rapide mais avec une petite perte de précision.
 
 ---
 
@@ -427,11 +346,7 @@ Grâce à des outils comme PostgreSQL + pgvector, on peut manipuler ces techniqu
 
 ## Exercices finaux
 
-1. Construire une base de produits avec vecteurs nutritionnels.
-2. Normaliser les données par z-score.
-3. Créer un index HNSW.
-4. Classer un produit inconnu avec k-NN.
-5. Détecter les produits extrêmes.
+
 
 ---
 
@@ -445,3 +360,159 @@ Grâce à des outils comme PostgreSQL + pgvector, on peut manipuler ces techniqu
 ---
 
 Voulez-vous que je complète ce cours avec **schémas explicatifs et illustrations** (par exemple représentation d’un espace vectoriel, graphe HNSW, courbe du z-score), pour en faire un véritable poly visuel ?
+
+
+Très bonne question 👍, car la **covariance** est une des notions centrales de la statistique et elle fait intervenir l’opérateur $E$, qui est l’**espérance mathématique**.
+
+---
+
+# 📘 La covariance et l’espérance
+
+## 1. L’espérance $E[X]$
+
+L’**espérance** (ou **moyenne théorique**) d’une variable aléatoire $X$ est une mesure de sa valeur moyenne à long terme.
+
+* **Variable discrète** :
+
+$$
+E[X] = \sum_i x_i \, P(X = x_i)
+$$
+
+* **Variable continue** :
+
+$$
+E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x)\, dx
+$$
+
+où $f(x)$ est la densité de probabilité.
+
+👉 Intuitivement, $E[X]$ = **moyenne pondérée** par les probabilités.
+👉 En statistique pratique, on remplace $E[X]$ par la **moyenne empirique** :
+
+$$
+\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
+$$
+
+---
+
+## 2. Définition de la covariance
+
+La **covariance** mesure comment deux variables $X$ et $Y$ **varient ensemble**.
+
+$$
+\mathrm{Cov}(X,Y) = E\big[(X - E[X])(Y - E[Y])\big]
+$$
+
+Autrement dit :
+
+* Si $X$ est grand quand $Y$ est grand → covariance **positive**.
+* Si $X$ est grand quand $Y$ est petit → covariance **négative**.
+* Si aucun lien → covariance proche de **0**.
+
+---
+
+## 3. Formule pratique
+
+On peut développer la définition :
+
+$$
+\mathrm{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]
+$$
+
+En version empirique (données observées $(x_i,y_i)$) :
+
+
+
+---
+
+## 4. Exemple simple
+
+Données :
+$X = (1, 2, 3)$, $Y = (2, 4, 6)$.
+
+* Moyennes : $\bar{x} = 2$, $\bar{y} = 4$.
+* Produits centrés :
+  $(1-2)(2-4) = (+2)$,
+  $(2-2)(4-4) = (0)$,
+  $(3-2)(6-4) = (+2)$.
+* Moyenne : $(2 + 0 + 2)/3 = 1.33$.
+
+👉 Covariance positive : $X$ et $Y$ croissent ensemble.
+
+---
+
+## 5. Interprétation
+
+* **Unité** : la covariance s’exprime dans les unités combinées de $X$ et $Y$ (ex. kg·cm).
+* **Problème** : sa valeur dépend des échelles de mesure → difficile à comparer.
+* **Solution** : on utilise la **corrélation** (covariance normalisée) :
+
+$$
+\rho(X,Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
+$$
+
+où $\sigma_X, \sigma_Y$ sont les écarts-types.
+
+---
+
+## 6. Application à vos vecteurs nutritionnels
+
+Si $X =$ teneur en sucre et $Y =$ teneur en énergie (kcal) sur une base de produits :
+
+* $\mathrm{Cov}(X,Y) > 0$ : les produits sucrés apportent plus d’énergie (logique).
+* $\mathrm{Cov}(X,Y) \approx 0$ : pas de lien.
+* $\mathrm{Cov}(X,Y) < 0$ : plus de sucre = moins d’énergie (peu probable).
+
+---
+
+📌 **Résumé**
+
+* $E[\cdot]$ = espérance = moyenne théorique.
+* $\mathrm{Cov}(X,Y)$ mesure la tendance de deux variables à varier ensemble.
+* Corrélation = covariance **normalisée** pour comparer entre variables.
+
+---
+
+Voulez-vous que je montre un **exemple SQL avec PostgreSQL** pour calculer la covariance (et corrélation) entre sucre et énergie dans votre table `produits` ?
+
+
+Parfait 👍 Développons maintenant la partie **classification et clustering**, qui est un volet essentiel de l’analyse multidimensionnelle.
+
+---
+
+
+### Applications
+
+* Segmentation client sans étiquette.
+* Analyse de comportements sur un site web.
+* Regroupement de documents ou d’images.
+* Détection d’anomalies (points isolés).
+
+---
+
+## 3. Comparaison Classification vs Clustering
+
+| Critère                 | Classification (supervisée) | Clustering (non supervisée)   |
+| ----------------------- | --------------------------- | ----------------------------- |
+| Données d’apprentissage | Avec classes connues        | Sans classes connues          |
+| Objectif                | Prédire une classe          | Découvrir des regroupements   |
+| Exemple                 | Spam / Non Spam             | Segmenter des clients         |
+| Méthodes                | SVM, arbres, k-NN, Bayes    | k-Means, DBSCAN, hiérarchique |
+
+---
+
+## 4. Liens avec l’analyse multidimensionnelle
+
+* **En Data Warehouse** : on peut utiliser la classification pour prédire une variable clé (ex. prédire si une campagne marketing réussira).
+* **Dans un cube OLAP** : le clustering peut permettre de **réduire les dimensions** en regroupant des modalités similaires (ex. fusionner des catégories de produits qui se vendent de manière identique).
+
+---
+
+✅ En résumé :
+
+* La **classification** s’appuie sur des classes connues et cherche à **prédire**.
+* Le **clustering** ne connaît pas les classes à l’avance et cherche à **découvrir** des structures cachées.
+
+---
+
+Voulez-vous que je développe un **exemple pratique illustré** (par ex. segmentation de clients avec un tableau de variables, appliquant à la fois classification supervisée et clustering) pour rendre cette partie plus concrète ?

vecteurs/kd-tree.svg

@@ -0,0 +1,121 @@
+<svg viewBox="0 0 980 560" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="Illustration Kd-Tree 2D">
+  <defs>
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+
+  <!-- Background grid area (left) -->
+  <rect x="10" y="10" width="640" height="540" rx="8" ry="8" fill="#ffffff" stroke="#e6eef6" />
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+  <!-- Title inside SVG -->
+  <text x="30" y="34" font-size="14" fill="#0b1a2b" font-weight="600">Plan 2D — Zones partitionnées</text>
+
+  <!-- Example points (with insertion order labels) -->
+  <!-- Points coordinates are within the 640x540 box offset by (10,10) -->
+  <!-- Points array: [ {x,y,label} ] -->
+
+  <!-- Level 0 split (vertical line by x) -->
+  <line x1="330" y1="10" x2="330" y2="550" stroke="#ef4444" stroke-width="2.5" stroke-dasharray="" />
+  <text x="334" y="30" font-size="12" fill="#ef4444">Level 0 (x)</text>
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+  <!-- Level 2 split (vertical inside right-bottom quadrant) -->
+  <line x1="460" y1="130" x2="460" y2="550" stroke="#f59e0b" stroke-width="1.8" />
+
+  <!-- Level 3 splits (horizontal inside a small cell) -->
+  <line x1="150" y1="180" x2="330" y2="180" stroke="#10b981" stroke-width="1.6" />
+
+  <!-- Points left-top quadrant -->
+  <g fill="#0b1a2b" font-size="11" text-anchor="middle">
+    <circle cx="120" cy="60" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="120" y="64" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9">1</text>
+
+    <circle cx="210" cy="90" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="210" y="94" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9">4</text>
+
+    <circle cx="180" cy="220" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="180" y="224" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9">7</text>
+  </g>
+
+  <!-- Points left-bottom quadrant -->
+  <g>
+    <circle cx="80" cy="360" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="80" y="364" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9" text-anchor="middle">2</text>
+
+    <circle cx="260" cy="260" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="260" y="264" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9" text-anchor="middle">5</text>
+  </g>
+
+  <!-- Points right-top quadrant -->
+  <g>
+    <circle cx="420" cy="80" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="420" y="84" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9" text-anchor="middle">3</text>
+
+    <circle cx="540" cy="170" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="540" y="174" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9" text-anchor="middle">6</text>
+
+    <circle cx="500" cy="410" r="6" fill="#0b1a2b" filter="url(#soft)" />
+    <text x="500" y="414" fill="#fff" font-weight="700" font-size="9" text-anchor="middle">8</text>
+  </g>
+
+  <!-- Small inset: tree structure on the right -->
+  <g transform="translate(680,40)">
+    <rect x="0" y="0" width="280" height="420" rx="8" ry="8" fill="#ffffff" stroke="#e6eef6" />
+    <text x="18" y="24" font-size="13" fill="#0b1a2b" font-weight="600">Kd-Tree (structure)</text>
+
+    <!-- Nodes -->
+    <!-- Root -->
+    <g>
+      <rect x="98" y="48" width="84" height="28" rx="6" fill="#ef4444" opacity="0.12" stroke="#ef4444" />
+      <text x="140" y="68" font-size="12" fill="#ef4444" text-anchor="middle">Root (split x)</text>
+    </g>
+
+    <!-- Left child -->
+    <g>
+      <rect x="18" y="128" width="84" height="28" rx="6" fill="#1f8ef1" opacity="0.12" stroke="#1f8ef1" />
+      <text x="60" y="148" font-size="12" fill="#1f8ef1" text-anchor="middle">L (split y)</text>
+    </g>
+
+    <!-- Right child -->
+    <g>
+      <rect x="178" y="128" width="84" height="28" rx="6" fill="#1f8ef1" opacity="0.12" stroke="#1f8ef1" />
+      <text x="220" y="148" font-size="12" fill="#1f8ef1" text-anchor="middle">R (split y)</text>
+    </g>
+
+    <!-- Lines -->
+    <line x1="140" y1="76" x2="60" y2="128" stroke="#94a3b8" stroke-dasharray="3 4" />
+    <line x1="140" y1="76" x2="220" y2="128" stroke="#94a3b8" stroke-dasharray="3 4" />
+
+    <!-- Deeper nodes -->
+    <rect x="18" y="208" width="84" height="28" rx="6" fill="#f59e0b" opacity="0.12" stroke="#f59e0b" />
+    <text x="60" y="228" font-size="12" fill="#f59e0b" text-anchor="middle">LL (split x)</text>
+
+    <rect x="98" y="208" width="84" height="28" rx="6" fill="#10b981" opacity="0.12" stroke="#10b981" />
+    <text x="140" y="228" font-size="12" fill="#10b981" text-anchor="middle">LR (split y)</text>
+
+    <rect x="178" y="208" width="84" height="28" rx="6" fill="#f59e0b" opacity="0.12" stroke="#f59e0b" />
+    <text x="220" y="228" font-size="12" fill="#f59e0b" text-anchor="middle">RR (split x)</text>
+
+  </g>
+
+  <!-- Legend -->
+  <g transform="translate(30,500)">
+    <rect x="0" y="0" width="600" height="46" rx="8" ry="8" fill="#fbfdff" stroke="#eef2ff" />
+    <text x="12" y="18" class="legend">Légende :</text>
+    <text x="12" y="34" class="legend">• Couleur rouge = coupe selon x (verticale). • Couleur bleue = coupe selon y (horizontale).</text>
+  </g>
+
+</svg>